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第157章 把课题推进(为神罚抽烟天官让道加更3)

下午陈舟的堂弟陈勇便背着书包过来了。

陈舟把他和陈晓安排在一块,让他们自己写作业,有不懂的就问他。

很顺手的,陈舟就把陈勇的一本数学教材丢给了陈晓。

陈晓默默的接过,他知道,这个寒假,这本教材,会一直伴随他的。

陈舟看了一会两人,便回屋把自己的笔记本草稿纸等一应装备拿了出来。

打开笔记本上关于Clifford分析相关课题的文件。

他现在在研究的是复Clifford分析中Cauchy-Pompeiu公式的相关部分。

简单梳理了一下思路,陈舟便开始在草稿纸上写着:

【w1*Dξ+w2*Dξ=∑j=0→n[(?w1*/?ξj+?w2*/?ξj)ej]=0……(1)】

【Dξw1*+Dξw2*=∑j=0→n[ej(?w1*/?ξj+?w2*/?ξj)]=0……(2)】

这两个是很重要的等式,需要先证明出来。

陈舟思考了一会,对上面两个等式做出了一些变换,然后着手开始证明。

【∑j=0→n[(?w1*/?ξj+?w2*/?ξj)ej]=……】

【显然,这两个对应项的和为零,其余项以此类推……故上式成立。】

【同理可证Dξw1*+Dξw2*=0】

证明完毕,陈舟又写下下一个需要证明的内容。

【设Ω?C^(n+1)为有界区域,设f,g∈C1(Ω,Cl0,n(C)),定义df=?f+▔?f,……,则有d[f?(w1+w2)]=df∧(w1+w2)。】

略一思索,陈舟开始证明。

【因为d(f?g)=df?g+f?dg,所以d[f?(w1+w2)]=df∧(w1+w2)+f?d(w1+w2)=df∧(w1+w2)+f[?(w1+w2)+▔?(w1+w2)]】

【因为▔?w2=0,?w1=0,所以……】

陈舟刚写完,旁边的陈勇戳了戳他:“哥,帮我看看这题,这题我不会做,看了答案也没理解。”

陈舟拿过他手中的资料书,看了一眼,一个函数的题目,他抬手写了个?的符号,然后立马划掉。

微微摇头,陈舟暗自嘀咕一声,这还真是看什么是什么了。

又看了一遍题目,稍微整理了一下思绪,陈舟开始在草稿纸上边写解题步骤,边给陈勇讲解。

停下笔后,陈舟看了一眼陈勇,他还盯着草稿纸在看。

这道题对于高中生来说,确实有些超纲了。

陈舟也不急,就这么边思考自己的课题,边等着陈勇。

过了一会,陈勇收回在草稿纸上的目光,扭头看向陈舟。

陈舟笑着问道:“都理解了?”

陈勇点了点头:“嗯,谢谢哥。”

陈舟:“不客气,接着做题吧。”

说完,陈舟也回到自己的课题上。

前面两个铺垫的定理已经搞定,下面就是关于Cauchy-Pompieu公式的证明了。

Cauchy-Pompieu公式的表述是:

【设Ω?C^(n+1)为有界区域,设f∈C1(Ω,Cl0,n(C)),且f∈H(Ω,α)(0<α<1),则对任意的n+1维链Γ,▔Γ?Ω,有f(z)=∫?Γf(ξ)?(w1+w2)-∫Γd[f(ξ)?(w1+w2)]。】

陈舟拿着笔,习惯性的在草稿纸上点了两下,然后开始证明。

【以z∈Ω为心,充分小的ε为半径,作小球Bε={ξ||ξ-z|<ε},则……】

再根据多复分析中的斯托克斯公式,可以继续往下证明。

【……,当ε→0时,∫?Bε[f(ξ)-f(z)](w1+w2)→0,……】

写完之后,陈舟回看了一遍,主要是利用了极限的定义,通过挖点的方法将含有奇点的部分分离出来。

其中,含有奇点的部分,可以利用函数的赫尔德连续性的定义,证明其极限为零。

没有奇点的部分,则利用斯托克斯公式,证明其结果是一个确定的常数,从而将问题解决。

这天下午,陈舟就在课题和讲解之中轮转着度过了。

到了晚上,再和杨依依开着视频,互相监督,互相学习。

直到杨依依催促着陈舟赶快睡觉,他才放下手中笔,清空脑中的思绪。

第二天,陈舟依旧如此度过。

除了偶尔被陈晓和陈勇问问题时,陈舟简单休息一下,其余的时间,便一直沉浸在课题中。

课题的进度,陈舟已经推进到对复Clifford分析中具有B-M核的T算子的性质的研究。

相关的预备知识及定义,陈舟早就整理的差不多了。

像Hadamard引理,赫尔德不等式,Minkowski不等式等等,他都已经熟稔于心。

T算子,全称是Teodorescu算子,是一种奇异积分算子,这种奇异积分算子有着许多优良的性质,可以应用与研究偏微分方程理论,积分方程理论以及广义函数理论中。

看着自己得到的结论,陈舟想到了经典的Hile引理的结论,很类似。

但因为Hile引理在复Clifford分析中无法直接使用,所以陈舟才根据不同的情况,插入合适的项,证明了相关的结论。

这个结论是证明复Clifford分析中算子赫尔德连续性的重要工具。

潜心课题研究的陈舟,只觉得时间过得很快。

感觉还没做多少内容呢,杨依依又提醒他该睡觉了……

2月14日,情人节。

根据陈舟和杨依依讨论的结果,两人都不打算再跑出去见面啊,吃饭啊,看电影啊之类的。

毕竟才刚分开,而且上学时也一直在一起,每天都见面,没必要为了所谓的情人节再单独跑出去。

总的来说呢,两人都觉得,只要两个人在一起,其实每天都是情人节。

所以,这天的陈舟就和往常一样,上午和杨依依在一块刷书做课题。

下午辅导陈晓和陈勇。

陈晓和陈勇两人对视一眼,陈晓先开口说道:“老哥,你是不是和嫂子分手了?”

陈舟奇怪的问道:“为什么这么说?”

陈晓解释道:“我看别人都是情人节出去约会,那大街上都一对一对的,但你就一直窝在家里啊。”

陈勇也说道:“我来的时候,也看到了,那街上还有卖花的。”

陈舟看了这两小子一眼,无奈道:“你们俩真是……我没分手,你俩赶紧的,好好写作业。”

陈晓却说道:“哥,你别怪我没提醒你,这必要的节日,还是得过的。你要真没分手,就算不见面,也得给嫂子准备个礼物不是?”

陈舟瞪了陈晓一眼,陈晓立马低头,一句话也不说了。

不过,经过陈晓的一番提醒,陈舟觉得也有那么几分道理。

只是他现在到哪去准备礼物去,现在准备礼物也来不及了呀……

8)

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